f(x)=(-2^x+b)/(2^(x+1)+a)

来源：百度知道 编辑：UC知道 时间：2024/05/29 17:08:08
已知定义域为R的函数f (x)=(-2^x+b)/(2^(x+1)+a) 是奇函数.
(1)求a,b的值;
(2)对于任意的t∈R,不等式f(t^2-2t)+f(2t^2-k)<0恒成立,求k的取值范围.

1、
2^x*2^-x=1,2^x*2^(-x+1)=2^1=2
f(-x)=-f(x)
所以(-2^-x+b)/[2^(-x+1)+a]=(2^x-b)/[2^(x+1)+a]
上下乘2^x
(-1+b*2^x)/[2+a*2^x]=(2^x-b)/[2^(x+1)+a]
对角相乘，2^(x+1)=2*2^x
令m=2^x
所以
(bm-1)(2m+a)=(am+2)(m-b)
(2b-a)m^2+(2ab-4)m+(2b-a)=0
2b-a=0
2ab-4=0
a=2,b=1或a=-2,b=-1

定义域是R
则2^(x+1)+a恒大于0
所以a=-2不成立
a=2,b=1

2、
f(x)=(1-2^x)/(2+2*2^x)
=-(2^x+1-2)/(2*2^x+2)
=-1/2+1/(2^x+1)
2^x+1是增函数
所以1/(2^x+1)减函数
所以f(x)是减函数
f(t^2-2t)<-f(2t^2-k)
奇函数
f(t^2-2t)<f(k-2t^2)
所以t^2-2t>k-2t^2
3t^2-2t-k>0恒成立
所以判别式小于0
4+12k<0
k<-1/3